これくらい粗い絵でも自己相似の意味は理解していただけると思います. '''N個のデータセットを生成する関数 ※最適化の問題によっては初期値の値によって結果が変わることがありますが、ここでは適当で大丈夫です。, 最適な重みが発見されました。 ただし、$L_i = c_i log (p_i) +(1-c_i) log(1-p_i) $, そして上記コードで定義した尤度が一番いい感じになるような重み$w_1,w_2,w_3$を探します。 カオスを数値計算で見た世界で初めての例だった気がします. 絶対に一度は思ったことがあるはずです。, とくにPythonでロジスティック回帰を実装したいと思ったことがある人は多いと思います。 カオスとかフラクタルとかって見てるだけで楽しいですよね. pがどんな感じになっているか見てみましょう。, 分離面を堺に、c=1である確率p(右図の青さの度合い)がくっきり分かれているのがわかります。 最近はもっぱら物書きは note ⇛ https://note.mu/hik0107. かなり激しく差分化しているのでとってもメモリを食います. ①各点(1~3)の予測がどの程度あたっているかを考え なぜズレるのかというと, 質点同士の位置が重なると引力が発散してしまうので, そういう点で数値計算では誤差が積み重なってしまうからです. ぐっちゃぐちゃかと思いきや, 最後は2つが仲良く衝突しながら吹っ飛んでいき, 残りの1つはひとりで反対側に飛び去ります. var = [x, p] ちょっとだけややこしい系なので解析力学の力を借りましょう. ここで、今回定義した分離面が$ 5x + 3 y = 1 $ であったことを思い出してください。 それぞれのモデルは、この3つの点が1(黒)である確率を次のように予想しました。 もちろん手では解けませんが, 漸化式自体は単純そうですね. いわゆる, フラクタルのはしりです. | まぁ、こんな感じの簡単なコードで次のような感じのグラフが表示されます。. ''', '''学習用のデータとパラメータの初期値を受け取って、 http://qiita.com/hik0107/items/f9bf14a7575d5c885a16, あとこちらの記事でロジスティック回帰の概要だけ勉強するとより良いかも 次の章で扱いますが、あまり詳細に説明していません。, まず、最適化したい尤度を実装します。 (なんとなく雰囲気がわかれば大丈夫です。) この組み合わせを$N点$生成してPandas Data Frameに格納する関数を作りましょう。, $ obs_i = (x_i, y_i, c_i) $ ただし $i = 1,2,3 ....N$, $x_i, y_i$は numpyのモジュール "np.random" で簡単に作ることが出来ます。, $c$に関しては、ある分離線を人為的に定義し、その分離線のどちら側にいるかで割り振ることにします。 全体として、どの程度よい良い予測かということが言えそうな気がしますね。, $p_1$は $正解:c=1$に対して、0.8と予測しているので、0.8ポイント これは$w_1,w_2,w_3$といった各重みが、このデータの分類をおこなうためのモデルとして間違っているからです。, この赤い線じゃ嫌なので、青い線みたくc=1とc=0(黒と白)を上手く分離できてるっぽい重みを探すというのが、『ロジスティック回帰のモデルを作る』ということに相当します。, ここから少しやっつけで行きます。みんな大好き最尤推定です。 ''', '''dfのデータセット分をなめていき、対数尤度の和を定義する関数 Mandelbrotよりさらにシンプルですね. 収束の度合いを$n$で勘定してあげるとグラデーションっぽいグラフにもできますが, 今回はコードのシンプルさを重視しました. 最後に、パラメータaを横軸にとってそのときの周期的な軌道が取る値(さっきの {0.3828, 0.8269, 0.5009, 0.8750} など)を縦軸にとったグラフを描いてみる。これが有名なロジスティック写像の分岐図。Pythonを使ってちょっと書いてみよう。 (動画の方は差分化を粗くしているので, 上のグラフとは少し違う動き方をしています). 自己相似性を持つ図形のこと. var = [x3, y3, x3_dot, y3_dot, x4, y4, x4_dot, y4_dot, x5, y5, x5_dot, y5_dot] Mandelbrot集合はフラクタル集合です. 「ロジスティック写像の時系列」に引続きカオスを生む簡単な写像であるロジスティック写像 x n+1 =ax n (1-x n) (ただし、2 < a < 4) を考えます。この写像はパラメータ a の値、および初期値 x 0 によってカオスを含む様々な系列 x n を生み出すのでした。 環境 Windows10 + Anaconda 4.8.1 + Python 3.7.6 + gnuplot 5.2(patchlevel 8) はじめに 結果 ソースコード Gnuplotを使った他の記事 はじめに Pythonでロジスティック写像を計算し、Gnuplotを使って分岐図を描いてみた。Wikipedia… キツい場合は差分化を緩めてください. Jul 12, 2014. カオスと分岐 非線形システム特論 池口徹 埼玉大学大学院理工学研究科情報数理科学専攻 338–8570 さいたま市桜区下大久保255 Tel : 048–858–3577, Fax : 048–858–3716 一番の特徴が「初期値鋭敏性」というもので, 初期値をほんのちょっと変えただけで全く異なる軌道を描きます. Twitter ⇛ https://twitter.com/hik0107 これが初期値鋭敏性です. 仮に分離線を $ 5x + 3 y = 1 $ としましょう。 subplot (1, 2, 1) #2つの図を並べて表示する準備 #データを作成するして、プロットする df_data = make_data (1000) #適当な初期値の重みを設定して、分離面を描画してみる weight_vector = np. ブログを報告する, Recipe 577332: Bifurcation diagram of logistic map (Python), Long Short-Term Memory Networks With Python, Freesound General-Purpose Audio Tagging Challenge. このように考えてみましょう。, 3つの点があり、この点の分類値は$(c_1, c_2, c_3) =(1,1,0)$ が正解だったとします。 振り子の位置を初期値を変えてプロットしてみましょう. を参考にしていただけるとよいと思います. 系のLagrangeanは. どちらが良いモデルでしょうか?, $M_1 : (p_1,p_2,p_3) = (0.8, 0.6, 0.2)$ 溢れでる上手いこといってる感, "pred"はP=0.5以上になった点をc=1と予測した時の予測値 ご容赦... あらまし カオスとかフラクタルとかって見てるだけで楽しいですよね. それより大きいとよー分からん感じになります!! Help us understand the problem. 簡単な数式や, 単純な物理から突拍子もないグラフが出てくるのはとても不思議でもあります. ロジスティック方程式 ってことよくありますよね?, 『そんなこと全くないわー(#^ω^)』って思った人も素直になってください。 二重振り子などが有名です. A. まぁ、なんてこんな適当なのかと言いますと、自分でもよく分かってないからですね!! 紛れ込む量はconfuse_binが小さくなるほど大きくなるように設定してあります。 X(n+1) = a×X(n)×(1-X(n)) をロジスティック方程式と呼びます. ロジスティック写像. $a$を変化させたときに$x_n$が収束(もしくは複数の値を振動)する点をプロットしていくとカオス的な振る舞いを見ることができます. について, $n\rightarrow \infty$でも発散しないような点$(x, y)$の集合のことをMandelbrot集合と呼びます. Sign in|Recent Site Activity|Report Abuse|Print Page|Powered By Google Sites, --------------------------------------------------------------------------, 右側の図はちょっと読みにくいですね。数値は確かに4周期を示していますが。このあたりの詳細も「, 今までは、a=3.2やa=3.5でした。初期値は x1=0.2 でしたが、x1=0.3 としても実は同じ結果になります。同じ結果という意味は、初期値が異ってもずっと先の方に行くと同じ値に収束したり、周期性を示したりするということです。, リターンマップで実験したように、a=1までは0に収束し、1から3まではある値に収束します。前述のように、はじめの100個はパスしていますので、線が1本ということは値が一つ、つまりある値に収束しているということです。3を超えたところで2つに分岐しますね。これは2周期になっているということです。さらに4周期になり、8周期になり・・カオスになります。ただ、しばらくいくと、白く抜けるとことがあります。これを「窓」といっていますが、ここでは3周期になっています。なお、「カオスになる」というのは、「収束しない」「初期値鋭敏性がある」ということなのですが、数学的にはリー・ヨークの定理とそれによる証明をすることになります。. ... apply(0..4,drawtext([#-0.02,-0.07],#,size->16)); 17世紀に始まった人口の増加率に関する問題について、18世紀のマルサスの研究を経て、19世紀になってベルハルストが次のように定式化しました。, という形になります。このあたりの詳細は、山口昌哉著の「カオスとフラクタル」(1986年ブルーバックス、2010年ちくま学芸文庫)に書かれています。この解のグラフを描くと次のようになります。これをロジスティック曲線といいます。Scriptは簡単ですので、係数をいろいろ変えて表示してみましょう。, なお、ウィキペディアの「ロジスティック式」の項ではこれと少し違う式になっています。, このロジスティック方程式については1940年代の内田俊郎、森下正明(ともに京都大学)らの研究を経て、1973年のロバート・メイの式に至るのです。1970年代は電卓がポケットサイズとなり普及した時期です。, 微分方程式を次のようにして近似化することを差分化といい、それによって得られる式を差分方程式といいます。, まず、微分の定義を思い出してください。xがtの関数であるとき、微小な変化量Δt、Δxを用いると, さて、伊藤氏のページにある、ロジスティック写像のリターンマップ、分岐図について考えていきましょう。「カオスを概観する」でロジスティック写像として示した2つの図です。, 0.1  0.09  0.0819  0.0752 ・・・ となっていき、ある値に収束します。, -------------------------------------------------------------------------, aと最初のxの値をいろいろ変えてみると、数の変化がわかります。repeat の回数を増やせばわかりやすいかもしれません。, 0.7995  0.513 ・・・ となり、2つの値を繰り返します。この状態を「周期が2である」といいます。, さらに、a=3.5  x=0.2 のときは、はじめのうちはばらばらに見えますが、repeatの回数を50くらいすると、4つの値が繰り返されるようになります。「周期が4」となるのです。(実際に試してください), さて、数値の並びだけではわかりにくいので、これを図で表すことにします。それがリターンマップです。, ポイントは、あるxの値から次の値を図形的にどう取るかということなのですが、ここで直線 y=x がうまい役割をします。, ここから横に線を引いて、直線 y=x との交点を求めると、そのx座標が f(x1) となります。これが x2です。, すなわち、x軸上のx1から出発して、放物線->直線->x軸 と戻ってくれば次の値をx軸上に求めることができるわけです。, さて、次の図は先ほど示した、周期が2,4になるときの図です。周期性の意味が図から読み取れるでしょうか。, (この図では、上図に加えて、x1,x2,x3・・・の点列を緑の点でx軸上に示しています。), ところが、a=3.57・・・ を超えると、初期値によって値の動きはまったく異なるものとなるのです。(これもやってみましょう)これを「初期値鋭敏性」と言います。そして、a=4に十分近いとき、カオスになるのです。このことは、次の「ロジスティック写像の分岐図」で見てみることにしましょう。, aの値によって、xの値は収束したり、周期的になったりします。この様子を次のように図(グラフ)にします。, 今度のグラフは、横軸にaの値、縦軸にxの値を取ります。そして、各aの値に対する点列 x1,x2,x3,・・・・ をプロットしていくわけですが初めの方は省略します。なぜかというと、上の周期4の図を見てください。初めの方は値がばらつくために、いろいろな線が出ています。あとのほうだけをとればはっきり周期性がわかります。(これも, このようにして作ったのが次の図です。この図では、はじめの100個をパスしてあとの100個を表示しています。aの値は0から4まで、4000等分しています。.

ソファ 買った ブログ 6, 高校化学 教科書 目次 6, 彼女 冷めた 別れたい 9, 早稲田大学 通信 就職 5, Ehd S55mp3b 施工 説明書 55, 人工授精 障害児 ブログ 12, 40代 傘 色 18,

Write a comment